Phép đối xứng trục

Thứ ba - 22/03/2016 12:25
Phép đối xứng trục. Công thức toạ độ của phép đối xứng trục.
Phép đối xứng trục. Cho đường thẳng $d$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thuộc $d$ thành chính nó, biến mỗi điểm $M$ không thuộc $d$ thành điểm $M'$ sao cho $d$ là trung trực của $MM'$ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng $d$ hay phép đối xứng trục $d$. Ký hiệu là ${D_d}.$

Ta viết ${D_d}\left( M \right) = M'$ để chỉ phép đối xứng trục $d$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$. Từ định nghĩa ta có $${D_d}\left( M \right) = M' \Leftrightarrow \overrightarrow {{M_0}M'}  =  - \overrightarrow {{M_0}M} ,$$ với $M_0$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $d$.

Các tính chất của phép đối xứng trục. Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tam giác thành tam giác đã cho, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

 
Các trường hợp đặc biệt. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $M\left( {x;y} \right).$ Khi đó ta có $$\matrix{    {{D_{Ox}}\left( M \right) = {M_1}\left( {x; - y} \right),}  \cr    {{D_{Oy}}\left( M \right) = {M_2}\left( { - x;y} \right).}  \cr  } \;\;\;\;\;\;\;\; \left(  *  \right)$$

Ví dụ 1. Tìm toạ độ của ảnh của điểm $A\left( {1; - 2} \right)$ và $B\left( {3; - 1} \right)$ qua phép đối xứng trục $Ox$ và $Oy$.
Giải. Gọi $A_1$ và $A_2$ lần lượt là ảnh của $A$ qua phép đối xứng trục $Ox$ và $Oy$. Theo công thức $\left(  *  \right)$ ta dễ dàng có  ${A_1}\left( {1;2} \right),{A_2}\left( { - 1; - 2} \right).$​

Tương tự, nếu gọi $B_1$ và $B_2$ lần lượt là ảnh của $B$ qua phép đối xứng trục $Ox$ và $Oy$ thì ${B_1}\left( {3;1} \right),{B_2}\left( { - 3; - 1} \right)$.

 
Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng $\Delta _1$ và $\Delta _2$  là ảnh của đường thẳng $\Delta :x + 3y - 1 = 0$ qua phép đối xứng trục $Ox$ và $Oy$. 
Giải. Lấy ngẫu nhiên một điểm $M\left( {x;y} \right) \in \Delta $ và giả sử $M_1 = {D_{Ox}}\left( M \right).$ Theo công thức $\left(  *  \right)$ ta suy ra $M'\left( {x; - y} \right)$. Như vậy để tìm ảnh của $M$, tức là tìm toạ độ của điểm $M'$, ta chỉ việc đổi dấu tung độ $y$ thành $-y$. Từ đây ta có phương trình của $$\left( {{\Delta _1}} \right):x + 3\left( { - y} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow x - 3y - 1 = 0.$$​
Tương tự, để có được phương trình của $\Delta_2$, theo công thức trên, từ phương trình của $\Delta$ ta chỉ việc thay $x$ bởi $-x$. Ta có $$\left( {{\Delta _2}} \right): - x + 3y - 1 = 0.$$
 
Bình luận 1. Công thức $\left(  *  \right)$  giúp ta tìm ảnh qua phép đối xứng trục $Ox$ và $Oy$. Tuy nhiên, việc tìm ảnh của một "đối tượng" nào đó qua phép đối xứng trục ${D_d}$, với $d$ là một đường thẳng bất kì khá dài dòng. Ta theo các bước như sau 


 
Công thức toạ độ của phép đối xứng trục. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $M\left( {x;y} \right)$ và đường thẳng $d$. Để tìm điểm $M'\left( {x';y'} \right)$ là ảnh của điểm $M$ qua phép đối xứng trục ${D_d}$  ta làm như sau 
 
Bước 1: Tìm toạ độ điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $d$;
Bước 2: Tìm toạ độ điểm $M'$ nhờ vào sự kiện $M_0$ là trung điểm của $MM'$, nghĩa là $$\left\{ \matrix{   {{x + x'} \over 2} = {x_0}, \hfill \cr   {{y + y'} \over 2} = {y_0}. \hfill \cr}  \right.$$


Ví dụ 3. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho điểm $M\left( {6;1} \right)$ và đường thẳng $d:2x - y - 1 = 0.$. Tìm toạ độ của điểm $M'$ là ảnh của điểm $M$ qua phép đối xứng trục ${D_d}$.
 
Giải. Bước 1: Gọi ${M_0}$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên đường thẳng $d$. Vì $M_0 \in d:y = 2x - 1$ nên toạ độ có dạng ${M_0}\left( {m;2m - 1} \right)$. Suy ra $\overrightarrow {M{M_0}}  = \left( {m - 6;2m - 2} \right)$. Ta cũng có vector chỉ phương của $d$ là ${{\vec u}_d} = \left( {1;2} \right)$. Vì $\overrightarrow {M{M_0}}  \bot {{\vec u}_d}$ nên $$\overrightarrow {M{M_0}}  \cdot {{\vec u}_d} = 0 \Leftrightarrow m - 6 + 2\left( {2m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 5m - 10 = 0 \Leftrightarrow m = 2.$$ Với $m=1$ ta được điểm ${M_0}\left( {2;3} \right)$.

Bước 2. Vì $M_0$ là trung điểm của $MM'$ nên ta có $$\left\{ \matrix{   {{{x_M} + {x_{M'}}} \over 2} = {x_{{M_0}}} \hfill \cr   {{{y_M} + {y_{M'}}} \over 2} = {y_{{M_0}}} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{   {x_{M'}} = 2{x_{{M_0}}} - {x_M} = 2 \cdot 2 - 6 =  - 2 \hfill \cr   {y_{M'}} = 2{y_{{M_0}}} - {y_M} = 2 \cdot 3 - 1 = 4 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow M'\left( { - 2;4} \right).$$

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường thẳng $\left( \Delta  \right):x + y - 2 = 0$ và đường thẳng $\left( d \right):x - 2y + 1 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta '$ là ảnh của $\Delta$ qua xép đối xứng $D_d$.

Cách 1. Gọi $M = \Delta  \cap d.$ Toạ độ của điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình $$\left\{ \matrix{   x + y - 2 = 0 \hfill \cr   x - 2y + 1 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{   x = 1 \hfill \cr   y = 1 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow M\left( {1;1} \right).$$ Chọn ngẫu nhiên điểm $A\left( {2;0} \right) \in \Delta .$ Bây giờ ta tìm điểm $A'$ là ảnh của $A$ qua phép đối xứng trục $D_d$, cách tìm toạ độ của $A'$ tương tự như Ví dụ 3. Ta dễ dàng có được $A'\left( {{4 \over 5};{{12} \over 5}} \right)$. Đường thẳng $\Delta '$ đi qua hai điểm $M$ và $A'$ nên có phương trình là $${{x - {x_M}} \over {{x_{A'}} - {x_M}}} = {{y - {y_M}} \over {{y_{A'}} - {y_M}}} \Leftrightarrow {{x - 1} \over {{4 \over 5} - 1}} = {{y - 1} \over {{{12} \over 5} - 1}} \Leftrightarrow 7x + y - 8 = 0.$$



 


Cách 2. Với mỗi điểm ${M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right) \in \Delta$, giả sử  ${M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là ảnh của $M_1$ qua phép đối xứng trục $D_d$, và hiển nhiên $M' \in \Delta '$. Bây giờ ta tìm mối liên hệ giữa các toạ độ của hai điểm này. Gọi $M_0$ là hình chiếu vuông góc của $M_1$ lên $d.$ Đường thẳng $M_1M_2$ đi qua ${M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ và vuông góc với $d$ nên ${{\vec n}_{{M_1}{M_2}}} = {{\vec u}_d} = \left( {2;1} \right)$, và do đó phương trình có dạng $$2 \cdot \left( {x - {x_2}} \right) + 1 \cdot \left( {y - {y_2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 2{x_2} - {y_2} = 0.$$ Vì ${M_0} = {M_1}{M_2} \cap d$ nên toạ độ của $M_0$ là nghiệm của hệ $$\left\{ \matrix{   2x + y - 2{x_2} - {y_2} = 0 \hfill \cr   x - 2y + 1 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{   x = {{4{x_2} + 2{y_2} - 1} \over 5} \hfill \cr   y = {{2{x_2} + {y_2} + 2} \over 5} \hfill \cr}  \right. \Rightarrow {M_0}\left( {{{4{x_2} + 2{y_2} - 1} \over 5};{{2{x_2} + {y_2} + 2} \over 5}} \right).$$ Vì $M_0$ là trung điểm của $M_1M_2$ nên $$\left\{ \matrix{   {x_1} = 2 \cdot {{4{x_2} + 2{y_2} - 1} \over 5} - {x_2} \hfill \cr   {y_1} = 2 \cdot {{2{x_2} + {y_2} + 2} \over 5} - {y_2} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{   {x_1} = {{3{x_2} + 4{y_2} - 2} \over 5} \hfill \cr   {y_1} = {{4{x_2} - 3{y_2} + 4} \over 5} \hfill \cr}  \right..$$ Do $M_1 \in \left( \Delta  \right):x + y - 2 = 0$ nên $${x_1} + {y_1} - 2 = 0 \Leftrightarrow {{3{x_2} + 4{y_2} - 2} \over 5} + {{4{x_2} - 3{y_2} + 4} \over 5} - 2 = 0 \Leftrightarrow 7{x_2} + {y_2} - 8 = 0.$$ Đẳng thức cuối cùng này chứng tỏ điểm $M_2$ luôn thuộc đường thẳng có phương trình $7x + y - 8 = 0$. Vì điểm $M_1$ được chọn ngẫu nhiên nên phương trình đường thẳng này cũng chính là phương trình của đường thẳng $\Delta '$.
 
Bình luận 2. Nếu ở Ví dụ 4, đường thẳng $\Delta$ song song với $d$ thì hiển nhiên điểm $M$ không tồn tại. Tuy nhiên lúc ấy ta lại có $\Delta \parallel d\parallel \Delta '$, nghĩa là ta có vector pháp tuyến của $\Delta '$ là ${{\vec n}_{\Delta '}} = {{\vec n}_d} = {{\vec n}_\Delta }$. Như vậy ta cũng tiến hành tương tự như Ví dụ 1, vẫn lấy ngẫu nhiên điểm $A \in \Delta$ rồi đi tìm $A'$ là ảnh của $A$ qua phép đối xứng trục $D_d$. Phương trình đường thẳng $\Delta '$ dễ dàng lập được vì ta biết một điểm mà nó đi qua là $A'$ và có vector pháp tuyến ${{\vec n}_{\Delta '}} = {{\vec n}_d}$.

Bình luận 3. Cũng ở Ví dụ 4, Cách 1 tỏ ra ngắn gọn hơn nhiều so với Cách 2. Tuy nhiên khi mà nếu đối tượng cần tìm ảnh, ở đây là $\Delta$, được thay bởi một đường cong khác phức tạp hơn, như một parabol chẳng hạn, thì Cách 2 trở nên phát huy tác dụng. Bạn đọc xem Ví dụ 6 bên dưới. 

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4$ và đường thẳng $\left( d \right):x - 1 = 0$. Viết phương trình đường tròng $(C')$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép đối xứng $D_d$.

Giải. Tâm và bán kính của đường tròn $(C)$ lần lượt là $I\left( {3; - 1} \right)$ và $R=2$. Gọi $I'$ và $R'$ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn  $(C')$. Khi đó $I' = {D_d}\left( I \right)$, và tương tự như Ví dụ 3, ta dễ dàng tìm được $I'\left( { - 1; - 1} \right)$. Hơn nữa phép đối xứng trục có tính chất bảo toàn khoảng cách nên $R' = R = 2 $. Như vậy $$\left( {C'} \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4.$$


Ví dụ 6. Tìm ảnh của parabol $\left( P \right):y = {x^2} + 1$ qua phép đối xứng trục $D_d$, với đường thẳng $\left( d \right):x - 2y + 1 = 0$. 

Giải. Lấy ngẫu nhiên một điểm ${M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right) \in \left( P \right)$ và gọi ${M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là ảnh của $M_1$ qua phép đối xứng trục $D_d$. Như những biến đổi ở Ví dụ 4, toạ độ của hai điểm này liên hệ với nhau qua các đẳng thức $$\left\{ \matrix{   {x_1} = {{3{x_2} + 4{y_2} - 2} \over 5} \hfill \cr   {y_1} = {{4{x_2} - 3{y_2} + 4} \over 5} \hfill \cr}  \right..$$ Vì điểm $M_1 \in \left( P \right):y = {x^2} + 1$ nên $$\eqalign{   & {y_1} = x_1^2 + 1 = 0 \Leftrightarrow {{4{x_2} - 3{y_2} + 4} \over 5} = {\left( {{{3{x_2} + 4{y_2} - 2} \over 5}} \right)^2} + 1 = 0  \cr   &  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow 9x_2^2 - 32{x_2} + 24{x_2}{y_2} + 16y_2^2 - {y_2} + 9 = 0. \cr} $$ Đẳng thức cuối cùng này chứng tỏ ảnh của parabol $(P)$ là đường cong bậc hai có phương trình $9{x^2} - 32x + 24xy + 16{y^2} - y + 9 = 0$ và đây cũng là một parabol, ta gọi là $(P')$.


 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 17 trong 6 đánh giá

Xếp hạng: 2.8 - 6 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn