Tỷ mỷ làm toán. Độc lập suy nghĩ.

http://cunghoctoan.net


Công thức toạ độ của tích vô hướng hai vector

Công thức toạ độ của tích vô hướng hai vector
Học sinh nên đọc lại bài viết "Tích vô hướng của hai vector" trước khi học mục này.

Công thức toạ độ của tích vô hướng hai vector. Tích vô hướng của hai vector $\vec u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),\vec v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ được cho bởi 
$$\vec u \cdot \vec v = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}$$

Mệnh đề 1. $\vec u \bot \vec v \Leftrightarrow \vec u \cdot \vec v = 0.$

Ví dụ . Trong không gian $Oxyz$ cho tam giác $ABC$ với $A\left( {1;2;3} \right),B\left( {2;3;1} \right),C\left( {4;-4;1} \right).$ Hãy xác định toạ độ của trung điểm $I$ của $AB$ và toạ độ trong tâm $G$. Chứng minh đây là tam giác vuông đồng thời cho biết diện tích của tam giác. 
 

Giải. Toạ độ trung điểm $I$ của $AB$ 
$$\left\{ \begin{array}{l}
{x_I} = \frac{{1 + 2}}{2} = \frac{3}{2}\\
{y_I} = \frac{{2 + 3}}{2} = \frac{5}{2}\\
{z_I} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2};2} \right).$$
Toạ độ trong tâm $G$ của tam giác 
$$\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{{1 + 2 + 4}}{3} = \frac{7}{3}\\
{y_G} = \frac{{2 + 3 - 4}}{3} = \frac{1}{3}\\
{z_G} = \frac{{3 + 1 + 1}}{3} = \frac{5}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{7}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3}} \right)$$
Áp dụng Mệnh đề 1 cho hai vector 
$$\left. \begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1; - 2} \right)\\
\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 6; - 2} \right)
\end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {AC}  = 1 \cdot 2 + 1 \cdot \left( { - 6} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 2} \right) = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AC} .$$
Suy ra tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
Từ đây ta có 
$$\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = \left( {1;1; - 2} \right) \Rightarrow AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 6 .\\
\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 6; - 2} \right) \Rightarrow AC = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {44} .
\end{array}$$
Suy ra diện tích tam giác $ABC$ là $${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2}\sqrt 6  \cdot \sqrt {44}  = 6\sqrt {11} .$$


Lưu ý. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên trọng tâm $G$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$. Học sinh hãy xác định trọng tâm $G$ theo công thức trung điểm.

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán