Căn của số phức

Thứ ba - 19/04/2016 00:57
Căn của số phức. Công thức xác định căn của số phức.
Ta hãy khởi động bằng một ví dụ như sau 

Ví dụ 1. Tìm các căn bậc hai của số phức ${z} = 1 + \sqrt 3 i$. 
Giải. Dạng lượng giác của $z$ là $$z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right).$$ Ta cần tìm số phức $\omega  = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)$ sao cho ${\omega ^2} = z.$ Kết hợp với công thức Moivre ở bài trước ta có phép biến đổi sau $$\begin{array}{l} {\omega ^2} = z \Leftrightarrow {r^2}\left( {\cos 2\varphi  + i\sin 2\varphi } \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right)\\  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {r^2} = 2\\ \cos 2\varphi  = \cos {60^o}\\ \sin 2\varphi  = \sin {60^o} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = \sqrt 2 \\ \varphi  = {30^o} + k{180^o} \end{array} \right., k \in \mathbb{Z}. \end{array}$$ Lần lượt cho $k$ nhận các giá trị nguyên, ta được hai căn bậc hai của $z$ là $$\begin{array}{l} {\omega _1} = \sqrt 2 \left( {\cos {{30}^o} + i\sin {{30}^o}} \right) = \frac{{\sqrt 6 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}i;\\ {\omega _2} = \sqrt 2 \left( {\cos {{210}^o} + i\sin {{210}^o}} \right) =  - \frac{{\sqrt 6 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}i. \end{array}$$ Hai số phức $ \omega_1$ và $\omega_2$ được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ.

Căn bậc $n$ của số phức. Cho số phức $z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right).$ Vấn đề đặt ra là ta tìm căn bậc $n$ của $z$, nghĩa là ta đi tìm số phức $\omega  = s\left( {\cos \alpha  + i\sin \alpha } \right)$ sao cho ${\omega ^n} = z,$ với $n \ge 1.$ Ta có $${\omega ^n} = z \Leftrightarrow {s^n}\left( {\cos n\alpha  + i\sin n\alpha } \right) = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {s^n} = r\\ \cos n\alpha  = \cos \varphi \\ \sin n\alpha  = \sin \varphi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} s = \sqrt[n]{r}\\ \alpha  = \frac{\varphi }{n} + \frac{{k2\pi }}{n} \end{array} \right.,1 \le k \le n.$$ Như vậy mỗi số phức $z = r\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)$ sẽ có $n$ căn bậc $n$ là $${\omega _k} = \sqrt[n]{r}\left[ {\cos \left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{k2\pi }}{n}} \right) + i{\mathop{\rm sin}\nolimits} \left( {\frac{\varphi }{n} + \frac{{k2\pi }}{n}} \right)} \right],1 \le k \le n.$$

Các số phức ${\omega _1},{\omega _2},...,{\omega _n}$ được biểu diễn bởi $n$ điểm cách đều nhau trên đường tròn tâm $O$ bán kính là $\sqrt[n]{r}$.


 
Ví dụ 2. Xác định các căn bậc bốn của số phức $z =  - 8 + 8\sqrt 3 i.$
Giải. Dạng lượng giác của $z$ là $$z = 16\left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 16\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right).$$ Các căn bậc bốn của $z$ xác định theo công thức $${\omega _k} = \sqrt[4]{{16}}\left[ {\cos \left( {\frac{{2\pi /3}}{4} + \frac{{k2\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2\pi /3}}{4} + \frac{{k2\pi }}{4}} \right)} \right] = 2\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2}} \right)} \right],1 \le k \le 4.$$ Như vậy có $4$ căn bậc bốn của $z$ là $$\begin{array}{l} {\omega _1} = 2\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{2}} \right)} \right] =  - 1 + \sqrt 3 i,\\ {\omega _2} = 2\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \pi } \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + \pi } \right)} \right] =  - \sqrt 3  - i,\\ {\omega _3} = 2\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{3\pi }}{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{3\pi }}{2}} \right)} \right] = 1 - \sqrt 3 i,\\ {\omega _4} = 2\left[ {\cos \left( {\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right)} \right] = \sqrt 3  + i. \end{array}$$ Các số phức ${\omega _1},{\omega _2},{\omega _3},{\omega _4}$ được biểu diễn bởi bốn điểm cách đều nhau trên đường tròn tâm $O$ bán kính bằng $2$.

 
 
Ví dụ 3. Xác định các căn bậc ba của $z = 1$.
Giải. Dạng lượng giác của $z$ là $$z = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}.$$ Các căn bậc ba của $z$ được xác định theo công thức $${\omega _k} = \root 3 \of 1 \left[ {\cos \left( {\frac{{\pi /2}}{3} + \frac{{k2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{\pi /2}}{3} + \frac{{k2\pi }}{3}} \right)} \right] = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}} \right),1 \leqslant k \leqslant 3.$$ Như vậy các căn bậc ba cần tìm là 
$$\eqalign{   & {\omega _1} = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{2\pi }}{3}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i,  \cr   & {\omega _2} = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{4\pi }}{3}} \right) =  - \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i,  \cr   & {\omega _3} = \cos \left( {\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i. \cr} $$ Và các số phức này có biểu diễn là các điểm cách đều nhau trên đường tròn có bán kính bằng $1$.

 


 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn