Một vài tính chất cơ bản của môđun và argument

Thứ hai - 18/04/2016 19:40
Một vài tính chất cơ bản của môđun và argument. Công thức Euler cho số phức. Công thức Moirve.
Một vài tính chất quan trọng của môđun và argument. 

Nhắc lại rằng số phức $ z = a + bi $ được biểu diễn bởi điểm $M\left( {a;b} \right)$ trong mặt phẳng phức $Oxy$. Mô-đun hay còn gọi là độ lớn của $z$ là đại lượng $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $, và đây cũng chính là độ dài của vector $\overrightarrow {OM} $. Góc hợp bởi $\overrightarrow {OM} $ và chiều dương của trục $Ox$ được gọi là argument của $z$, ký hiệu $\arg \left( z \right)$.
 
$\left( a \right)$ Vì số phức $ z = a + bi $ và liên hợp của nó là ${\bar z} = a - bi$ được biểu diễn bởi hai điểm $M\left( {a;b} \right)$ và $M'\left( {a;-b} \right)$ đối xứng nhau qua trục thực $Ox$ nên ta có  $$\left| z \right| = \left| {\bar z} \right|;\;\;\;\;\arg \left( {\bar z} \right) =  - \arg \left( z \right).$$


 

Ví dụ 1. Số phức $z = 1 + \sqrt 3 i$ và liên hợp của nó là $\bar z = 1 - \sqrt 3 i$ lần lượt được biểu diễn bởi $M$ và điểm $M'$. Ta cũng có $$ \begin{gathered}   \left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\sqrt 3 }^2}}  = 2 = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \left| {\bar z} \right|. \\   \arg \left( z \right) = \alpha  = {60^o};\;\;\; \arg \left( {\bar z} \right) =  - \alpha  =  - {60^o}. \\ \end{gathered} $$ Dạng lượng giác là $$\begin{gathered}   z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right). \hfill \\   \bar z = 1 - \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} - i\sin {{60}^o}} \right) = 2\left[ {\cos \left( { - {{60}^o}} \right) + i\sin \left( { - {{60}^o}} \right)} \right]. \hfill \\ \end{gathered} $$
$\left( b \right)$ Với hai số phức ${z_1} = {r_1}\left( {\cos {\alpha _1} + i\sin {\alpha _1}} \right)$ và ${z_2} = {r_2}\left( {\cos {\alpha _2} + i\sin {\alpha _2}} \right)$ ta có $$\left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right|;\;\;\;\; \;\;\;\; \arg \left( {{z_1} \cdot {z_2}} \right) = \arg \left( {{z_1}} \right) + \arg \left( {{z_2}} \right).$$
Ví dụ 2. Xét hai số phức ${z_1} = \sqrt 3  - i$ và ${z_2} = 1 + \sqrt 3 i$. Ta kiểm chứng tính chất $\left( b \right)$ cho hai số phức này. Dạng lượng giác của hai số phức này như sau $$\eqalign{   & {z_1} = \sqrt 3  - i = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right) = 2\left[ {\cos \left( { - {{30}^o}} \right) + i\sin \left( { - {{30}^o}} \right)} \right]  \cr   & {z_2} = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right). \cr} $$ Như vậy $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2$ và $\arg \left( {{z_1}} \right) =  - {30^o},\arg \left( {{z_2}} \right) = {60^o}.$ Với lưu ý $ i^2 = -1$ ta có $$\eqalign{   & {z_1} \cdot {z_2} = 2\left[ {\cos \left( { - {{30}^o}} \right) + i\sin \left( { - {{30}^o}} \right)} \right] \cdot 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right)  \cr   &  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 4\left\{ {\left[ {\cos {{60}^o}\cos \left( { - {{30}^o}} \right) - \sin \left( { - {{30}^o}} \right)\sin {{60}^o}} \right] + \left[ {\sin {{60}^o}\cos \left( { - {{30}^o}} \right) + \cos {{60}^o}\sin \left( { - {{30}^o}} \right)} \right]i} \right\}  \cr   &  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= 4\left[ {\cos \left( {{{60}^o} - {{30}^o}} \right) + i\sin \left( {{{60}^o} - {{30}^o}} \right)} \right]  \cr   & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 4\left( {\cos {{30}^0} + i\sin {{30}^o}} \right). \cr} $$ Rõ ràng $\left| {{z_1} \cdot {z_2}} \right| = 4 = \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right|;\;\;\;\arg \left( {{z_1} \cdot {z_2}} \right) = {30^o} = \arg \left( {{z_1}} \right) + \arg \left( {{z_2}} \right).$

Hoặc một cách khác là thao tác trực tiếp trên dạng đại số của $z_1$ và $z_2$ như sau $${z_1} \cdot {z_2} = \left( {\sqrt 3  - i} \right)\left( {1 + \sqrt 3 i} \right) = 2\sqrt 3  + 2i = 4\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 4\left( {\cos {{30}^o} + i\sin {{30}^o}} \right).$$

Một hệ quả quan trọng của tính chất $\left( b \right)$ là $$\left| {{z^n}} \right| = {\left| z \right|^n};\;\;\;\;\arg \left( {{z^n}} \right) = n\arg z.$$
 
Ví dụ 3. Xét số phức  ${z} = \sqrt 3  + i$. Dạng lượng giác của nó là $$z = \sqrt 3  + i = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{30}^o} + i\sin {{30}^o}} \right).$$ Ta có $$\eqalign{   & {z^2} = {2^2}\left[ {\cos \left( {2 \cdot {{30}^o}} \right) + i\sin \left( {2 \cdot {{30}^o}} \right)} \right] = 4\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right) = 2 + 2\sqrt 3 i;  \cr   & {z^3} = {2^3}\left[ {\cos \left( {3 \cdot {{30}^o}} \right) + i\sin \left( {3 \cdot {{30}^o}} \right)} \right] = 8\left( {\cos {{90}^o} + i\sin {{90}^o}} \right) = 8i;  \cr   & {z^4} = {2^4}\left[ {\cos \left( {4 \cdot {{30}^o}} \right) + i\sin \left( {4 \cdot {{30}^o}} \right)} \right] = 16\left( {\cos {{120}^o} + i\sin {{120}^o}} \right) = -8 + 8\sqrt 3 i. \cr} $$
Hệ quả trên có ứng dụng mạnh trong chuyện xây dựng công thức tìm căn của số phức. Học sinh xem vấn đề này ở đây.

Công thức Euler cho số phức. Người ta chứng minh được rằng với mọi số thực $ \varphi $ ta có $${e^{\varphi i}} = \cos \varphi  + i\sin \varphi, $$ trong đó $e = \lim {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} \approx 2,71828...$ còn gọi là hằng số Euler. Từ công thức này, dùng quy tắc tính luỹ thừa ta có $${\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)^n} = {\left( {{e^{\varphi i}}} \right)^n} = {e^{n\varphi i}} = \cos n\varphi  + i\sin n\varphi .$$ Và công thức $${\left( {\cos \varphi  + i\sin \varphi } \right)^n} = \cos n\varphi  + i\sin n\varphi $$ được gọi là công thức Moivre.


Ví dụ 4. Số phức ${z_2} = 1 + \sqrt 3 i$ được chuyển đổi về dạng Euler như sau $$z = \sqrt 3  + i = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{30}^o} + i\sin {{30}^o}} \right) = 2 \cdot {e^{i \cdot {{30}^o}}}.$$ Từ đây, ta có $$\eqalign{   & {z^2} = {\left( {2{e^{i \cdot 30}}} \right)^2} = 4{e^{i \cdot 60}} = 4\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right) = 2 + 2\sqrt 3 i;  \cr   & {z^3} = {\left( {2{e^{i \cdot 30}}} \right)^3} = 8{e^{i \cdot 90}} = 8\left( {\cos {{90}^o} + i\sin {{90}^o}} \right) = 8i;  \cr   & {z^4} = {\left( {2{e^{i \cdot 30}}} \right)^4} = 16{e^{i \cdot 120}} = 16\left( {\cos {{120}^o} + i\sin {{120}^o}} \right) = 8 + 8\sqrt 3 i. \cr} $$


 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn