Nghiệm của phương trình bậc hai

Thứ năm - 21/04/2016 22:00
Nghiệm của phương trình bậc hai có hệ số thực. Nghiệm của phương trình bậc hai có hệ số phức.
Phương trình bậc hai hệ số thực. Có dạng $a{x^2} + bx + c = 0$, với $a,b,c \in \mathbb{R}.$ Công thức nghiệm $${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}, \hbox{ với } \Delta  = {b^2} - 4ac.$$

Ví dụ 1. Giải phương trình ${x^2} + 2x + 5 = 0\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)$.
Giải. Ta có $\Delta  = {b^2} - 4ac = {2^2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 =  - 16 = {\left( {4i} \right)^2}.$ Suy ra $\Delta$ có một căn bậc hai là $\sqrt \Delta   = 4i.$ Hai nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ là $$\begin{gathered}
  {x_1} = \frac{{ - 2 + 4i}}{2} =  - 1 + 2i; \hfill \\
  {x_2} = \frac{{ - 2 - 4i}}{2} =  - 1 - 2i. \hfill \\
\end{gathered} $$
Bình luận 1. Ở Ví dụ 1, $\Delta$ có hai căn bậc hai là $4i$ và $-4i$. Một trong hai căn bậc hai này, ta dùng đại lượng nào cũng được. Ở đây ta đã dùng $4i$ để thao tác tính dễ dàng hơn. 

Phương trình bậc hai hệ số phức. Có dạng $a{x^2} + bx + c = 0$, với $a,b,c \in \mathbb{C}.$ Công thức tính nghiệm cũng giống như trường hợp có hệ số thực. 

Ví dụ 2. Giải phương trình ${x^2} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)ix + \sqrt 3  = 0\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)$.
Giải. Ta có $$\Delta  = {\left[ {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)i} \right]^2} - 4\sqrt 3  =  - {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} - 4\sqrt 3  =  - {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} = {\left[ {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)i} \right]^2}.$$ Suy ra một căn bậc hai của $\Delta$ là $\sqrt \Delta   = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)i$. Từ đây ta được nghiệm của $\left( 2 \right)$ là $$\begin{gathered}   {x_1} = \frac{{ - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)i + \left( {1 + \sqrt 3 } \right)i}}{2} = \sqrt 3 i, \hfill \\   {x_2} = \frac{{ - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)i - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)i}}{2} =  - i. \hfill \\ \end{gathered} $$
 
Bình luận 2. Ở Khi giải phương trình bậc hai hệ số phức, thường thì $\Delta$ sẽ là một số phức. Do đó ta nên xem lại cách lấy căn bậc hai của số phức ở bài trước. Như ví dụ sau đây

Ví dụ 3. Giải phương trình ${x^2} + \left( {1 + 5i} \right)x + 5i - 12 = 0.$
Giải. Ta có $$\Delta  = {\left( {1 + 5i} \right)^2} - 4\left( {5i - 12} \right) = 24 - 10i = {\left( {5 - i} \right)^2}.$$ Suy ra một căn bậc hai của $\Delta$ là $\sqrt \Delta   = 5 - i$. Từ đây ta có nghiệm của phương trình là $$\eqalign{
  & {x_1} = \frac{{ - \left( {1 + 5i} \right) + \left( {5 - i} \right)}}{2} = 2 - 3i,  \cr
  & {x_2} = \frac{{ - \left( {1 + 5i} \right) - \left( {5 - i} \right)}}{2} =  - 3 - 2i. \cr} $$

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin cũ hơn