Số phức

Thứ năm - 31/03/2016 05:29
Định nghĩa số phức. Các cách biểu diễn một số phức. Mặt phẳng phức.
Định nghĩa số phức. Một số phức bất kì có dạng $z = a + bi,$ trong đó $a$ và $b$ là các số thực. Số $a$ được gọi là phần thực, ký hiệu $\operatorname{Re} \left( z \right)$; còn $b$ được gọi là phần ảo, ký hiệu $\operatorname{Im} \left( z \right)$. Nếu phần ảo $b=0$ thì $ z=a$ và lúc này $z$ được gọi là số thuần thực. Nếu $ a = 0 $ thì $z = bi$ và trong trường hợp này $z$ được gọi là số thuần ảo. 

Ví dụ 1. Xét số phức $z = 1 + 2i$. Phần thực là $\operatorname{Re} \left( z \right) = 1$, phần ảo là $\operatorname{Im} \left( z \right) = 2.$

Tập hợp các số phức ký hiệu là $\mathbb{C}$. Như vậy $$\mathbb{C} = \left\{ {a + bi\left| {a,b \in \mathbb{R}} \right.} \right\}.$$ Sau đây ta định nghĩa các phép toán trên tập số phức.

Phép cộng. Giả sử ta có hai số phức ${z_1} = {a_1} + {b_1}i,\;\;{z_2} = {a_2} + {b_2}i$. Tổng của hai số phức $z_1$ và $z_2$, ký hiệu $z_1 + z_2$, là số phức được xác định như sau $${z_1} + {z_2} = \left( {{a_1} + {a_2}} \right) + \left( {{b_1} + {b_2}} \right)i.$$ Như vậy số phức tổng $z_1 + z_2$ có phần thực là tổng của các phần thực, có phần ảo là tổng của các phần ảo của số phức $z_1$ và $z_2$.
Ví dụ 2. Tổng của hai số phức ${z_1} = 1 + 2i $ và ${z_2} = 3 + 4i$ là $${z_1} + {z_2} = \left( {1 + 3} \right) + \left( {2 + 4} \right)i = 4 + 6i.$$
Hiển nhiên ta có $z + 0 = z$, với mọi $ z \in \mathbb{C} $.
Số phức đối. Số phức $ z = a + bi $ có tổng với số phức $ - z: =  - a - bi$ là $$z + \left( { - z} \right) = \left( {a - a} \right) + \left( {b - b} \right)i = 0 + 0i = 0.$$ Số phức $ - z $ còn được gọi là đối của số phức $z$.

Ví dụ 3. Đối của số phức $z = 1 + 2i$ là $ - z =  - 1 - 2i$.

Phép nhân. Tích của hai số phức ${z_1} = {a_1} + {b_1}i$ và ${z_2} = {a_2} + {b_2}i$, ký hiệu $z_1 \cdot z_2$, là số phức được xác định như sau $${z_1} \cdot {z_2} = \left( {{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} \right) + \left( {{a_1}{b_2} + {a_2}{b_1}} \right)i.$$
Ví dụ 4. Tích của hai số phức ${z_1} = 1 + 2i $ và ${z_2} = 3 + 4i$ là $$ {z_1} \cdot {z_2} = \left( {1 + 2i} \right)\left( {3 + 4i} \right) = \left( {1 \cdot 3 - 2 \cdot 4} \right) + \left( {1 \cdot 4 + 2 \cdot 3} \right)i =  - 3 + 10i.$$
Với phép nhân được định nghĩa như trên, ta có $${i^2} = i \cdot i = \left( {0 + 1i} \right)\left( {0 + 1i} \right) = \left( {0 \cdot 0 - 1 \cdot 1} \right) + \left( {0 \cdot 1 + 1 \cdot 0} \right)i =  - 1.$$
Như vậy, tuy rằng $i$ không phải là số thực, nhưng ${i^2} =  - 1$ lại là một số thực. Sau này $i$ sẽ được gọi là đơn vị ảo. 
Với mọi số phức $z$ ta luôn có $z \cdot 1 = z.$ 

Nghịch đảo của một số phức. Ngịch đảo của số phức $ z = a + bi $, ký hiệu là ${z^{ - 1}}$, là số phức $${z^{ - 1}} = \frac{a}{{{a^2} + {b^2}}} - \frac{b}{{{a^2} + {b^2}}}i.$$ Sở dĩ ta có điều này là vì ta dễ dàng kiểm chứng được $z \cdot {z^{ - 1}} = 1.$ Đôi lúc ta cũng viết $\frac{1}{z}$ thay cho ${z^{ - 1}}$.

Ví dụ 5. Ngịch đảo của số phức $ z = 1 + 2i $ là ${z^{ - 1}} = \frac{1}{{{1^2} + {2^2}}} - \frac{2}{{{1^2} + {2^2}}}i = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i.$

Phép chia số phức. Phép chia số phức  ${z_1} = {a_1} + {b_1}i$ cho số phức ${z_2} = {a_2} + {b_2}i$, mà ta viết là $\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}$, là tích của $z_1$ với nghịch đảo của số phức $z_2$, nghĩa là $$\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = \frac{{{a_1} + {b_1}i}}{{{a_2} + {b_2}i}} = \left( {{a_1} + {b_1}i} \right)\left( {\frac{{{a_2}}}{{a_2^2 + b_2^2}} - \frac{{{b_2}}}{{a_2^2 + b_2^2}}i} \right) = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{a_2^2 + b_2^2}} + \frac{{{b_1}{a_2} - {a_1}{b_2}}}{{a_2^2 + b_2^2}}i.$$
Ví dụ 6. $$\frac{{1 + 2i}}{{3 + 4i}} = \frac{{1 \cdot 3 + 2 \cdot 4}}{{{3^2} + {4^2}}} + \frac{{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}}{{{3^2} + {4^2}}}i = \frac{{11}}{{25}} + \frac{2}{{25}}i.$$
Mặt phẳng phức. 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật