Sự biểu diễn của số phức

Thứ ba - 05/04/2016 06:14
Mặt phẳng phức. Dạng lượng giác của số phức. Căn và luỹ thừa của số phức.

Sự  biểu diễn của số phức. Mặt phẳng phức. Mỗi số phức $z = a + bi,$ với $ a,b \in \mathbb{R} $ được biểu diễn bởi duy nhất một điểm $M\left( {a;b} \right)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$. Cùng với sự biểu diễn này thì mặt phẳng $Oxy$ được gọi là mặt phẳng phức.

Trục hoành $Ox$ biễu diễn cho thành phần thực của $z$ nên được gọi là trục thực, trục tung $Oy$ biểu diễn cho thành phần ảo, được gọi là trục ảo. 

Bình luận 1. Từ đây ta cũng suy ra số phức $z = a + bi$ và liên hợp của nó là $z = a - bi$ được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành; số phức $z = a + bi$ và số phức đối của nó là $-z = -a - bi$ được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng qua gốc toạ độ. Học sinh hãy thử tự biểu diễn để kiểm chứng điều này. 

Môđun của số phức. Đại lượng $\sqrt {{a^2} + {b^2}} $ được gọi là môđun của $z$, ký hiệu $\left| z \right|$, và đại lượng này cũng chính là độ dài của đoạn thẳng $OM$. Do đó, $\left| z \right|$ đôi khi còn được gọi là độ lớn của số phức  $z$. 

 




Ví dụ 1. Biễu diễn và tính mô-đun của số phức $z = 3 + 4i$. 
 
Giải. Ta có $\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5.$

Bằng định lý Pitago ta dễ dàng kiểm chứng $\left| z \right| = OM = 5.$





Số phức được viết dưới dạng $z = a + bi$ còn được gọi là dạng đại số của số phức. Sau đây là cách biểu diễn khác của số phức $z = a + bi$.
 

Dạng lượng giác của số phức. Gọi $\alpha$ là góc hợp bởi $\overrightarrow {OM} $ và chiều dương của trục $Ox$. Đặt $r = \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .$

Khi đó ta có $$\left\{ \begin{gathered}   a = r\cos \alpha  \hfill \\   b = r\sin \alpha  \hfill \\ \end{gathered}  \right..$$ Khi đó số phức $z$ được viết lại $$z = r\left( {\cos \alpha  + i\sin \alpha } \right).$$ Góc $ \alpha $ được gọi là argument của số phức $ z $, ký hiệu $ \arg \left( z \right). $

 
Ví dụ 2. Số phức $z = 1 + \sqrt 3 i$. Ta hãy tìm dạng lượng giác của nó. 
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OAM$ ta có $$\tan \alpha  = \frac{{OM}}{{OA}} = \frac{{\sqrt 3 }}{1} = \sqrt 3  \Rightarrow \alpha  = {60^o}.$$ Mô đun của $ z $ là $$\left| z \right| = \sqrt {{1^2} + {{\sqrt 3 }^2}}  = 2.$$ Từ đây ta có dạng lượng giác của $z$ là $$z = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right).$$

Một cách biến đổi khác để được dạng lượng giác của $z$ là $$z = 1 + \sqrt 3 i = 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right) = 2\left( {\cos {{60}^o} + i\sin {{60}^o}} \right).$$


 
Bình luận 2. Theo như những gì ta đã đề cập ở Bình luận 1, do số phức $z$ và liên hợp số phức $z = r\left( {\cos \alpha  + i\sin \alpha } \right)$ có liên hợp của nó là ${\bar z}$ được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua trục hoành nên nếu $z = r\left( {\cos \alpha  + i\sin \alpha } \right)$ thì số phức liên hợp là $\bar z = r\left[ {\cos \left( { - \alpha } \right) + i\sin \left( { - \alpha } \right)} \right]$.














 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 3 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 3 - 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn