Tích phân chứa trị tuyệt đối

Thứ hai - 08/02/2016 07:43
Tích phân chứa trị tuyệt đối. Cách tính tích phân của hàm chứa trị tuyệt đối
Công thức phá trị tuyệt đối. $$\left| {f\left( x \right)} \right| = \left\{ \begin{gathered}
  f\left( x \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\,f\left( x \right) \geqslant 0; \hfill \\
   - f\left( x \right),\,\,\;\,\,\,f\left( x \right) < 0. \hfill \\
\end{gathered}  \right.\;\;\;\;\;\left(  *  \right)$$

Cách tính tích phân chứa trị tuyệt đối. Khi tính tích phân dạng $\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $ ta tiến hành các bước sau

Bước 1. Xét dấu hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ {a;b} \right];$
Bước 2. Phá trị tuyệt đối theo công thức $\left(  *  \right)$.

 
Ví dụ. Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|dx} .$
 
Bước 1. Xét dấu hàm $f\left( x \right) = x - 1$ trên đoạn $\left[ {0;2} \right].$
 

Bước 2. Bỏ dấu trị tuyệt đối $$\left| {x - 1} \right| = \left\{ \begin{gathered}
  x - 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall x \in \left[ {1;2} \right]; \hfill \\
   - \left( {x - 1} \right) = 1 - x,\,\,\,\,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]. \hfill \\
\end{gathered}  \right.$$ Suy ra $$\begin{gathered}
  I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx}  + \int\limits_1^2 {\left| {x - 1} \right|dx}  \hfill \\
  \,\,\,\, = \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx}  + \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx}  = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0. \hfill \\
\end{gathered} $$
 
Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn