Tích phân hàm hữu tỷ

Thứ hai - 08/02/2016 08:40
Tích phân hàm hữu tỷ.
Tích phân hàm hữu tỷ. Có dạng $$I = \int\limits_a^b {\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}dx} $$
Bằng cách chia đa thức, nếu cần, ta luôn đưa được về tích phân dạng như trên, trong đó bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu.
Bây giờ ta xét các dạng cơ bản nhất, mà tất cả các tích phân hữu tỷ đều có thể đưa được về nó.

Dạng 1.      $\int {\frac{{dx}}{{ax + b}}}  = \frac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C$.

Ví dụ 1. $$I_1\,\,\, = \,\,\,\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{2x + 1}}} \,\,\,\, = \,\,\,\,\frac{1}{2}\left. {\left( {ln\left| {2x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\,\,\,\, = \,\,\,\,\frac{1}{2}\left( {\ln 3 - ln1} \right)\,\,\,\, = \,\,\,\,\frac{{\ln 3}}{2}.$$

Dạng 2.      $I_2 = \int {\frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}} ,$ trong đó tam thức $a{x^2} + bx + c$ có hai nghiệm phân biệt, giả sử ${x_1} < {x_2}.$

Ta phân tích $$\frac{1}{{a{x^2} + bx + c}} = \frac{1}{{a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)}} = \frac{1}{{a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}\left( {\frac{1}{{x - {x_2}}} - \frac{1}{{x - {x_1}}}} \right)$$ Suy ra $$\begin{array}{l}
I_2\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\,\int {\frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\frac{1}{{a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}\int {\left( {\frac{1}{{x - {x_2}}} - \frac{1}{{x - {x_1}}}} \right)dx} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}\left( {\ln \left| {x - {x_2}} \right| - \ln \left| {x - {x_1}} \right|} \right) + C\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\frac{1}{{a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}\ln \left| {\frac{{x - {x_2}}}{{x - {x_1}}}} \right| + C.
\end{array}$$
Ví dụ 2. Tính $$\begin{array}{l}
I\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\int\limits_{ - 1}^3 {\frac{{dx}}{{{x^2} - 3x + 2}}} \,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\int\limits_{ - 1}^3 {\frac{{dx}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \\
\,\;\;\;\;\;\;\; = \,\,\,\,\,\,\,\,\int\limits_{ - 1}^3 {\left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x - 1}}} \right)dx} \,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\,\,\left. {\left( {\ln \left| {x - 2} \right| - \ln \left| {x - 1} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^3\\
\,\;\;\;\;\;\;\; = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left. {\,\left( {\ln \left| {\frac{{x - 2}}{{x - 1}}} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^3\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ln \frac{1}{2} - \ln \frac{3}{2}\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\,\ln \frac{1}{3}.
\end{array}$$
Dạng 3.       $I_3 = \int {\frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}} ,$ trong đó tam thức $a{x^2} + bx + c$ có nghiệm kép $x_0$.

Ta phân tích $$\frac{1}{{a{x^2} + bx + c}} = \frac{1}{{a{{\left( {x - {x_0}} \right)}^2}}}.$$ Suy ra $$I_3\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\,\int {\frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}} \,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\frac{1}{a}\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x - {x_0}} \right)}^2}}}}  =  - \frac{1}{{a\left( {x - {x_0}} \right)}} + C.\,\,\,\,\,\,\,$$
Ví dụ 3. $$I\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\int\limits_0^2 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 2x + 1}}} \,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\int\limits_0^2 {\frac{{dx}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} \,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\, - \left. {\left( {\frac{1}{{x - 1}}} \right)} \right|_0^2\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\, - 2.$$

Dạng 4.       $I_4 = \int {\frac{{dx}}{{a{x^2} + bx + c}}} ,$ trong đó tam thức $a{x^2} + bx + c$ vô nghiệm.

Ta phân tích $$\frac{1}{{a{x^2} + bx + c}} = \frac{1}{a}\frac{1}{{{{\left( {x + \frac{b}{2}} \right)}^2} + \frac{{4ac - {b^2}}}{{4{a^2}}}}},\;\;\;\;4ac - {b^2} > 0.$$ Suy ra $${I_4} = \frac{1}{a}\int {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + \frac{b}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt {4ac - {b^2}} }}{{2a}}} \right)}^2}}}} .$$
Ta áp dụng công thức $\int {\frac{{dx}}{{{x^2} + {k^2}}}}  = \frac{1}{k}\arctan \left( {\frac{x}{k}} \right) + C.$
Ví dụ 4. $$\begin{array}{l}
I = \int\limits_{ - 1/2}^0 {\frac{{dx}}{{{x^2} + x + 1}}}  = \int\limits_{ - 1/2}^0 {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}}  = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\arctan \left[ {\frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {x + \frac{1}{2}} \right)} \right]_{ - 1/2}^0\\
\;\;\;\;\; = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\left( {\arctan \frac{1}{{\sqrt 3 }} - \arctan 0} \right) = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{{3\sqrt 3 }}.
\end{array}$$

Chú ý. Tích phân $I = \int\limits_a^b {\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}dx} $ luôn có thể phân tích được về các dạng trên.

Ví dụ 5. Tính tích phân $$I = \,\int\limits_0^2 {\frac{{{x^3} + 2{x^2} - 1}}{{{x^2} + x - 2}}dx} .$$
Giải. Thực hiện phép chia đa thức ${x^3} + 2{x^2} - 1$ cho ${x^2} + x - 2$ ta có $$\frac{{{x^3} + 2{x^2} - 1}}{{{x^2} + x - 2}} = x + 1 + \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x - 2}}.$$ Suy ra $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,I\,\,\,\, = \,\,\,\,\int\limits_0^2 {\left( {x + 1 + \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x - 2}}} \right)dx\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\int\limits_0^2 {\left( {x + 1} \right)dx}  + \int\limits_0^2 {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x - 2}}dx} } \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\int\limits_0^2 {\left( {x + 1} \right)dx\,\,\,\,}  + \,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\left( {\int\limits_0^2 {\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x - 2}}dx\, + \,\int\limits_0^2 {\frac{1}{{{x^2} + x - 2}}dx} } } \right).
\end{array}$$
Tính ${I_1} = \int\limits_0^2 {\left( {x + 1} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^2 = 6.$
Tính ${I_2} = \int\limits_0^2 {\frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x - 2}}dx} .$
Đổi cận $t = {x^2} + x - 2 \Rightarrow dt = 2x + 1.$
screen shot 2016 02 08 at 15 00 31


Tính $$\begin{array}{l}
{I_3}\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\,\int\limits_0^2 {\frac{1}{{{x^2} + x - 2}}dx} \,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\int\limits_0^2 {\frac{{dx}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \\
\;\;\;\;\;\;\; = \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{3}\int\limits_0^2 {\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx\,\,\, = } \,\,\,\,\frac{1}{3}\,\left. {\left( {\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right|} \right)} \right|_0^2\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,\frac{1}{3}\ln \frac{1}{2}.
\end{array}$$ Vậy $$\begin{array}{l}
I\,\,\,\,\,\, = \,\,\,{I_1}\, + \,\frac{1}{2}\left( {{I_2} + {I_3}} \right)\,\,\,\,\,\,\, = \,\,6\, + \,\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3}\ln \frac{1}{2} + \ln 2} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,6\,\,\,\, + \,\,\,\frac{1}{2}\left( { - \frac{1}{3}\ln 2 + \ln 2} \right)\,\,\,\,\,\,\, = \,\,\,\,\,6\, + \frac{1}{3}\ln 2.
\end{array}$$

 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)
 

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn