Tích phân hàm vô tỷ

Thứ hai - 08/02/2016 10:29
Tích phân hàm vô tỷ. Tích phân có chứa căn thức.
Tích phân hàm vô tỷ. Đôi với tích phân có chứa căn thức, ta thường dùng phương pháp đổi biến, nhân cho lượng liên hợp,...

Ví dụ 1. Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {{x^3}\sqrt {1 - {x^2}} dx} .$
Giải. Đặt $t = \sqrt {1 - {x^2}}  \Rightarrow {t^2} = 1 - {x^2} \Rightarrow 2tdt =  - 2xdx \Rightarrow xdx =  - tdt.$
Đổi cận
 


Suy ra $$I = \int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {1 - {x^2}} xdx}  = \int\limits_1^0 {\left( {1 - {t^2}} \right)t\left( { - tdt} \right)}  = \,\int\limits_0^1 {\left( {{t^2} - {t^4}} \right)dt}  = \left( {\left. {\frac{{{t^3}}}{3} - \frac{{{t^5}}}{5}} \right|} \right)_0^1 = \frac{2}{{15}}.$$
Ví dụ 2. Tính tích phân $I = \int\limits_1^3 {\frac{1}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {x - 1} }}dx} .$
Giải.Ta có $$\frac{1}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {x - 1} }} = \frac{{\sqrt {x + 1}  - \sqrt {x - 1} }}{{\left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 1}  - \sqrt {x - 1} } \right)}} = \frac{{\sqrt {x + 1}  - \sqrt {x - 1} }}{2}$$
Suy ra $$I = \frac{1}{2}\int\limits_1^3 {\left( {\sqrt {x + 1}  - \sqrt {x - 1} } \right)dx}  = \frac{1}{3}\left[ {\sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}  - \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^3}} } \right]_1^3 = \frac{{8 - 4\sqrt 2 }}{3}.$$

 

Bài tập 

(nhiều bài tập hơn khi đăng ký học tại Trung tâm Cùng học toán)

 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật   

Những tin mới hơn

Những tin cũ hơn