Nhóm Quaternion $Q_8$

Thứ sáu - 29/04/2016 01:22
Nhóm Quaternion $Q_8$

Như đã giới thiệu về vành chia Quaternion ở đây, bây giờ trong nhóm nhân $  H^* $ ta xét nhóm con sinh bởi các phần tử $  \left\{ { - 1,i,j,k} \right\} $. Nhóm này có các dạng biểu diễn như sau
$$  {Q_8} = \left\langle {x,y:{x^4} = 1,{x^2} = {y^2},xy = {y^{ - 1}}x} \right\rangle $$ hoặc $$  {Q_8} = \left\langle { - 1,i,j,k:{{\left( { - 1} \right)}^2} = 1,{i^2} = {j^2} = {k^2} = ijk = -1} \right\rangle. $$
Dạng biểu diễn thứ nhất sẽ chuyển đựoc về Dạng biểu diễn thứ hai bằng cách đặt $  x = i $, $  y = j $, $ k = xy $. Trong bài viết này sẽ dùng cách biểu diễn thứ hai.

Cấu trúc của nhóm $  Q_8 $ như sau.

1. $  Q_8 $ là nhóm không giao hoán, có $  8 $ phần tử là $  1, - 1, i, j, k, - i, - j, - k$ Các phần tử cấp 2 là $  - 1$, các phần tử cấp $ 4 $ là $  i, j, k, - i, - j, - k$.
2. Tâm của nhóm $  Q_8 $ là $  Z = \left\{ {1, -1} \right\} $.
3. Nhóm thương $  {Q_8}/Z = \left\{ {\overline 1 ,\overline i ,\overline j ,\overline k } \right\}$. Nhóm thương này đẳng cấu với nhóm Klein $$  {V_4} = \left\{ {1,\left( {12} \right)\left( {34} \right),\left( {13} \right)\left( {24} \right),\left( {14} \right)\left( {23} \right)} \right\}. $$
Nhóm các tự đẳng cấu trong $  Aut\left( {{Q_8}} \right) $ đẳng cấu với nhóm hoán vị $  S_4 $.


 

Tác giả bài viết: Ths. Huỳnh Việt Khánh

Tổng số điểm của bài viết là: 1 trong 1 đánh giá

Xếp hạng: 1 - 1 phiếu bầu
Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật