Vành chia Quaternion

Thứ sáu - 29/04/2016 00:59
Vành chia Quaternion
Ta xét tập hợp sau sau trong vành ma trận $  {M_2}\left( \mathbb{C} \right) $
$$  H = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
z & u \\
{ - \overline u } & {\overline z } \\
\end{array} } \right)\left| {z,u \in \mathbb{C}} \right.} \right\}, $$
trong đó $  \overline z $ là liên hợp của số phức $  z $.

Rõ ràng nếu $  \left( {\begin{array}{*{20}{c}}z & u \\{ - \overline u } & {\overline z } \\\end{array} } \right) \ne 0 $, tức $  {\left| z \right|^2} + {\left| u \right|^2} \ne 0 $ thì đây sẽ là phần tử khả nghịch trong $  {M_2}\left( \mathbb{C} \right)) $ với phần tử nghịch đảo là $  \frac{1}{{{{\left| a \right|}^2} + {{\left| b \right|}^2}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{\overline z }&{ - u}\\
{\overline u }&z
\end{array}} \right) \in H. $

Đặt $  z = a + bi $ và $  z = c + di $, trong đó $  a,b,c,d \in \mathbb{R} $. Lúc này mỗi một phần tử của $  H $ sẽ có dạng
$$  \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{a + bi}&{c + di} \\
{ - c + di}&{a - bi}
\end{array}} \right) = a\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0 \\
0&1
\end{array}} \right) + b\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
i&0 \\
0&{ - i}
\end{array}} \right) + c\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&1 \\
{ - 1}&0
\end{array}} \right) + d\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0&i \\
i&0
\end{array}} \right). $$
Bây giờ nếu ta đặt $  {\mathbf{1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array} } \right),{\mathbf{i}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
i & 0 \\
0 & { - i} \\
\end{array} } \right),{\mathbf{j}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0 & 1 \\
{ - 1} & 0 \\
\end{array} } \right),{\mathbf{k}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
0 & i \\
i & 0 \\
\end{array} } \right) $ thì $  H $ sẽ trở thành một không gian vector $  4 $ chiều trên $  \mathbb{R} $ với cơ sở là $  \left\{ {{\bf{1,i,j,k}}} \right\}. $

Như vậy, $  H $ là một vành chia, vừa là một không gian vector $  4 $ chiều trên $  \mathbb{R} $. Ta cũng chứng minh được tâm của $  H $ chính là $  \mathbb{R.} $

Đây là vành chia được xây dựng bởi nhà toán học W. R. Hamilton (1805 - 1865).
 
 

Tác giả bài viết: Cùng Học Toán

Tổng số điểm của bài viết là: 0 trong 0 đánh giá

Click để đánh giá bài viết

  Ý kiến bạn đọc

Mã bảo mật